LA MAGIE DES CHIFFRES
le nombre d'or - la
séquence de Fibonacci - ∏ ...
" Il n'y a que dans les mystérieuses équations de l'Amour
que l'on peut trouver raison et logique..."
J.Nash
phi, Le nombre d'or
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phi = (1+√5) ÷ 2 ≈
1,6180339887...
Il existe un nombre d'or, nommé Phi, qui se trouve présent dans toute chose...
Véritable clef, cachée au coeur même de l'Univers, il demeure un
merveilleux témoignage d'harmonie, de beauté, et de Vie...
Les proportions des
plantes, des êtres humains, des animaux obéissent tous à la loi de Phi.
Et
à leur tour, les hommes s'en inspirèrent pour réaliser leurs propres
oeuvres que ce soit en
peinture, sculpture, ou architecture... |
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La séquence de Fibonacci |
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Léonard de Pise, dit Fibonacci, créa une série de nombres aux propriétés
remarquables. Cette séquence avait été mise en évidence en 1202 dans un
problème mathématique appelé "Le monsieur des lapins".
- Combien de couples de lapins obtiendrons-nous à la fin de l'année si,
commençant avec un couple, chacun des couples produisait chaque mois un
nouveau couple lequel deviendrait productif au second mois de son
existence? |
La séquence de nombres qu'il fallait alors trouver était :
1, 1, 2, 3, 5,
8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ...
Chacun de ces chiffres correspond à la somme des deux
précédents : 1+1=2 1+2=3 2+3=5 3+5=8
5+8=13... Bizarrement, il se trouve que le quotient entre chaque
chiffres adjacents tend progressivement vers Phi (233÷144
= 1,61805... 610÷377 = 1,61803...) Notons également que Phi est le
seul nombre qui, lorsqu'on lui soustrait une unité, devient son propre inverse.
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propriétés mathématiques |
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le rectangle et le triangle d'or
La suite de Fibonacci s’est ensuite rendue célèbre par ses représentations
multiples en relation avec ce nombre mythique. Il existe, en géométrie,
des figures qui possèdent donc les propriétés du nombre d'or. Parmi
celles-ci, nous avons le Rectangle et le Triangle d'Or.
Dans le cas du rectangle, la proportion de la base par rapport à la
hauteur est égale à Phi. Et concernant le Triangle, le rapport du grand
côté par rapport au petit est lui aussi égal au nombre d'or.
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La spirale d'or
Pour dessiner une spirale d’or, on construit un rectangle d’or dans lequel
on trace un grand carré qui aura pour côté la largeur du rectangle. On
réitère cette opération dans le rectangle d'or restant, et ainsi de suite
jusqu'au point limite O.
Nous pouvons maintenant tracer cette fameuse spirale logarithmique en
dessinant des quarts de cercle dans les carrés... |
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La divine
proportion
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Fra Luca Pacioli, un moine, professeur de mathématiques, publia
en 1509
De Divina Proportione, qui sera d'ailleurs illustré par Léonard de
Vinci... L'ouvrage comprend une partie principale consacrée aux propriétés
de la proportion divine, suivi d'un traité d'architecture, du tracé d'un
alphabet antique, et du "Libellus", une suite d'exercices mathématiques
portant notamment sur les polyèdres réguliers.
Il semblerait que ce soit le premier traité consacré pour une large partie
au nombre d’or. Ce dernier est considéré non seulement dans ses propriétés
mathématiques, mais aussi dans ses attributs esthétiques, et mystiques... |
au coeur de la vie |
- Le coquillage du Nautile grandit en spirale, en suivant la proportion
divine. Il se trouve en effet que le rapport entre le diamètre de chaque
spirale formant sa coque, et le diamètre de la suivante est égale à Phi...
-
Si l'on observe comment les fleurs de tournesol sont disposées dans la
capitule qui les regroupe, on constate que 21 spirales s'enroulent dans le
sens des aiguilles d'une montre et 34 dans l'autre sens. Deux nombres de
Fibonacci consécutifs une nouvelle fois. Cette proportion divine
s'applique également pour les pommes de pins, les coquillages, la
disposition des feuilles ou des pétales sur certaines plantes...
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Dans une ruche, si l'on divise aussi le nombre des ouvrières par celui des
faux bourdons on obtient Phi...
Et il semblerait même que les milliers de lettres T, C, A, G, qui
composent l’ADN s’auto-organiseraient selon les proportions du nombre
d’or... |
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le corps humain
Leonard De Vinci fut le premier à déclarer que le corps humain était
composé de multiples parties, ayant pour dénominateur commun Phi.
Mesurez par exemple la distance entre le sol et le sommet de votre tête,
diviser la par la distance séparant le sol de votre nombril et vous
obtiendrez... Phi. Calculez encore le rapport entre deux phalanges
consécutives et vous trouverez Phi.
Par ailleurs, nombres de ses tableaux comme La Joconde, Léda et son cygne,
ou encore Saint Jérôme respectent eux aussi la divine proportion.
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peinture |
D'autres tableaux s'inscrivent également dans le rectangle d'or. Des
peintres comme Botticelli (La Naissance de Vénus), Corbusier (Modulor),
Salvador Dali (Sacrement de la dernière cène), Mondrian (Composition), et
bien d'autres encore, utilisèrent le Nombre d'Or pour réaliser leurs
oeuvres...
La composition se devait alors de mettre en valeur le sujet tout en
produisant une circulation du regard afin de créer, au coeur de la
toile, une harmonie absolue... De tout temps, l'artiste a cherché à
produire cet équilibre entre la figure et son environnement. Cette quête
trouva sa réponse dans le Nombre d'Or. |
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Architecture |
2800 av JC
:
La pyramide
de Kheops a des
dimensions permettant de mettre en évidence l'importance du nombre d'or.
En effet, le rapport entre la hauteur de la pyramide et sa demi base est
égale à 1,618.... |
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5ème
siècle avant JC
:
La lettre Phi faisait référence à Phidias, un architecte et sculpteur
grec, qui utilisa le nombre d'or pour décorer le Parthénon à Athènes.
Celui-ci s'inscrivait d'ailleurs dans le "rectangle d'or", là où
précisément le rapport entre la longueur et la hauteur
est égal à phi.
Ce nombre irrationnel fut dès lors considéré comme une proportion
particulièrement esthétique... Les règles du nombre d'or ordonnèrent alors
les proportions des plus grands monuments, des cathédrales européennes
jusqu'au Taj Mahâl. |
Quant à la géométrie sacrée, elle était devenue l'art de communiquer la
sagesse divine par l'intermédiaire de figures géométriques et symboliques.
Cet ancien langage secret était utilisé en particulier par les philosophes
et mathématiciens grecs, comme Platon ou Pythagore.
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musique
(En
construction...) |
- La cinquième symphonie de Beethoven
- Les sonates de Mozart
- ...
" Nous sommes mystérieusement accordés à ce nombre, car la section d'or
agit sur nos sens et, par eux, sur notre cortex cérébral, essentiellement
le droit, mais sans doute pas exclusivement, c'est pour cette raison que
nous sommes inconsciemment enclins à trouver belles les grandeurs de tous
ordres qui entrent dans cette relation. "
La Recherche (1995) |
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le nombre pi |
3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884
197 169 399 375 105 820 974 944 592 307 816 406 286 208 998 628 034 825
342 117 067.....................
Pi est un nombre parfait, irrationnel et transcendant exprimant le rapport entre
la circonférence d’un cercle et son diamètre. C'est un chiffre sans aucune
logique apparente et qui, encore aujourd'hui, demeure un véritable mystère... En
effet, comment admettre qu'une forme aussi simple, naturelle, et universelle que
le cercle puisse être régie par un nombre aussi inaccessible, incompréhensible,
et infinie que Pi ?...
2000 av. JC
: A cette époque, Pi était déjà connu des Babyloniens et servait à exprimer le
rapport entre la circonférence d'un cercle et son diamètre. Sur certaines
tablettes babyloniennes se trouvent en effet des calculs d'aires de disque où
3,125 (3 + 1/8) était utilisé comme valeur approchée de Pi. |
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1650 av. JC
: La notion du nombre Pi fut également retrouvée sur le papyrus de Rhind (du nom
de l’écossais Henry Rhind qui l’acheta en 1858). Ce manuel de calcul appartenait
en fait à Ahmès, un scribe égyptien.
Sa méthode pour s'approcher de Pi consistait à ramener l’aire de la
circonférence d'un cercle à celle d’un carré équivalent. Le nombre Pi prit alors
la valeur de 3,1604 (3 + 13/81)
500
av. JC :
«
Il fit la mer de fonte. Elle avait dix coudées d'un bord à l'autre, une
forme entièrement ronde, cinq coudées de hauteur, et une circonférence que
mesurait un cordon de trente coudées. »
Ce passage de la bible évoque la construction du temple de Salomon, et
indique l’utilisation du nombre Pi où Π=3.
250 av. JC
: Archimède de Syracuse, mathématicien grec, calcula à son tour et de
façon plus précise les décimales de Pi. Il parvint ainsi à donner un
encadrement du nombre Pi (223/71 < pi < 22/7) situé entre 3,1408 et
3,1428 |
Au fil des siècles et grâce aux progrès mathématiques, la valeur de Pi s'est de
plus en plus précisée, mais paradoxalement, plus les calculs s'affinaient et
plus le nombre de décimales augmentait jusqu'à finalement se perdre dans
l'infini...
Aujourd'hui encore, et malgré la puissance de nos ordinateurs, on ne sait
toujours pas si toutes ces décimales
sont purement aléatoires ou si au contraire, elles possèdent un sens, un
langage, une structure cachée... |
Hypothèse de Max
Cohen
(Extrait du film Pi) |
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1. Le langage de la nature est mathématique
2. Tout ce qui nous entoure peut être mis en équation
3. Toute représentation graphique d'une équation met en évidence une
séquence. Donc, la nature est faite de séquences.
Preuves : le cycle des maladies épidémiques, les fluctuations de la
population animale, la récurrence des tâches solaires, la crue et la
décrue du Nil... mais que dire de la Bourse ?... |
A
suivre...
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